Ζεσταίνουμε το λάδι σε βαρύ τηγάνι και ρίχνουμε τα ψιλοκομμένα κρεμμύδια και τις πιπεριές. Τα σοτάρουμε για μερικά λεπτά και προσθέτουμε τις ντομάτες. Βράζουμε σε μέτρια φωτιά μέχρι να μαραθούν και να απορροφηθούν τα υγρά τους.

Χτυπάμε τα αυγά ελαφρά με σπάτουλα και τα ρίχνουμε στο τηγάνι. Αλατοπιπερώνουμε και ανακατεύουμε για 3-4 λεπτά μέχρι να πήξουν ελαφρά.

Προσθέτουμε τη φέτα, ανακατεύουμε και πασπαλίζουμε με την κεφαλογραβιέρα. Ο καγιανάς τρώγεται χλιαρός, αλλά και κρύος, σαν ορεκτικό ή πρώτο πιάτο.

Πλένετε καλά και σκουπίζετε τα κολοκύθια. Τα κόβετε στη μέση και με ένα κουταλάκι αφαιρείτε την ψίχα από την κομμένη πλευρά τους. Στύβετε με τα χέρια την ψίχα και την ψιλοκόβετε.

Σε ένα μεγάλο μπολ ανακατεύετε τα ψιλοκομμένα μανιτάρια, την ψίχα από τα κολοκύθια, το ρύζι, το σκόρδο, τα κρεμμυδάκια, το τριμμένο μπαχάρι, τον κόλιανδρο, το χυμό και το ξύσμα από το 1 λεμόνι και το μισό ελαιόλαδο.

Κόβετε με ένα μαχαίρι μια μικρή φετούλα από την άκοπη πλευρά του κάθε κολοκυθιού (ώστε να στέκονται όρθια) και με ένα κουτάλι τα γεμίζετε καλά με το μίγμα.

Βάζετε τα κολοκύθια, όρθια σε μια φαρδιά και ρηχή κατσαρόλα με το άνοιγμα προς τα πάνω. Γεμίζετε την κατσαρόλα μέχρι τη μέση της με όσο ζωμό λαχανικών χρειαστεί, προσθέτετε το υπόλοιπο ελαιόλαδο και σκεπάζετε με το καπάκι της. Βράζετε το φαγητό για 45 λεπτά περίπου σε μέτρια φωτιά.

Με μια κουτάλα βγάζετε αρκετό από το ζουμί της κατσαρόλας και το βάζετε σε ένα μπολ. Προσθέτετε το χυμό και το ξύσμα από το δεύτερο λεμόνι.

Σε ένα μικρό μπολ διαλύετε το κορνφλάουρ με δύο τρεις κουταλιές νερό και το προσθέτετε στο μπολ με το ζωμό. Ανακατεύετε καλά και αδειάζετε το μίγμα στην κατσαρόλα. Ανακινείτε καλά και με προσοχή για να απλώσει παντού η σάλτσα, αφήνετε στη φωτιά να πάρει το φαγητό μια βράση και σερβίρετε αμέσως.

Πλένετε τις μπάμιες και με κοφτερό μαχαίρι καθαρίζετε προσεκτικά το κοτσανάκι τους γύρω γύρω δημιουργώντας έναν κώνο, χωρίς να σκίσετε τον καρπό τους και διαλυθούν.

Τις αραδιάζετε σε ταψί, τις ραντίζετε με το ξίδι και με λίγο αλάτι και τις αφήνετε στην άκρη ή στον ήλιο για 1 ώρα περίπου. Τις ξεπλένετε και τις στραγγίζετε.

Αλατοπιπερώνετε το κρέας και το αλευρώνετε ελαφρά. Ζεσταίνετε το λάδι (ή το βούτυρο και το λάδι) και καβουρδίζετε το κρέας ώστε να ροδίσει από όλες τις πλευρές. Προσθέτετε τα κρεμμύδια και το σκόρδο συνεχίζοντας το σοτάρισμα για μερικά λεπτά ακόμα.

Ρίχνετε τις τριμμένες ντομάτες και ένα φλιτζάνι ζεστό νερό και βράζετε το κρέας για 40 λεπτά.

Προθερμαίνετε το φούρνο στους 160οC. Μεταφέρετε το κρέας σε γάστρα (καλύτερα πήλινη) και αραδιάζετε από πάνω σε σειρές τις μπάμιες.

Ρίχνετε τη σάλτσα του φαγητού, λίγη ζάχαρη, σκεπάζετε το σκεύος με το καπάκι του ή με αλουμινόχαρτο και το σιγοψήνετε στο φούρνο για 30 λεπτά ακόμα, μέχρι να μαλακώσει το κρέας, να ψηθούν οι μπάμιες και να μείνει το φαγητό με το λάδι του.